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1934年9月，陈省身来到汉堡大学学习德语，等待11月开学。开学之前，布莱希特给陈省身几篇自己新写的论文复印件，陈省身在仔细阅读后，发现在一篇论文中存在一个漏洞。布莱希特很高兴，并让他设法补正。一个月后，陈省身不仅补齐了证明，还扩展了布莱希特的定理。他在汉堡的第一篇论文就这样发表在汉堡的数学杂志上。
不仅如此，陈省身的博士论文在他到汉堡一年之内就完成了。
1936年夏，陈省身又得到了到法国跟随数学大师嘉当学习的机会。
嘉当从事微分几何研究，是世界著名的几何大师。仰慕他的学生非常多，即使希望在办公室见他一面都要排长队。陈省身回忆当时的情况：“刚开始见到嘉当，他给我很多题目，有些我会做，有些是做不出来的。做不出来我就不敢见他。后来跟他学习了一段时间，渐渐地会做很多题目了。”在众多学生中，嘉当敏锐地发现了陈省身的才华，特地允许他每两周到自己家里面谈一次，每次一个小时。
师友送陈省身（右二）离开汉堡赴法国巴黎（1936年9月摄于汉堡车站） 资料图
陈省身在巴黎紧张地学习了10个月，写出3篇论文，但他的收获却远远不止这些。一年后离开法国时，他对微分几何已有了相当深刻的理解。
日后陈省身说：“当时能够理解嘉当工作的人还不多，我得意的是很早就进入到这一领域，熟悉了嘉当的工作。因此后来我能应用他的发展方向，继续做出一些贡献。”
完成“高斯一邦尼”公式证明
1937年，抗日战争爆发前夕，他本着爱国之心，毅然回国，被母校清华大学聘为教授，这时他不过才26岁。他以为自己将在清华园终此一生，不料抗日战争爆发后，几经辗转，他来到清华、北大、南开在昆明共同组建的临时大学 西南联合大学任教。
战争期间，学校的图书文献资料奇缺，幸运的是嘉当时常从巴黎给陈省身寄来前沿的论文资料，让他可以继续研读，并使嘉当的理论成为近代数学主流之一。
回国前夕，陈省身（右二）与好友合影。资料图
期间，陈省身每年都有论文在国外发表，数学成就越来越受到国际数学界的瞩目。
1943年，美国普林斯顿高级研究院邀请他做访问学者。普林斯顿高级研究院是当时世界数学中心，并邀请到了爱因斯坦、德国大数学家韦尔等一些赫赫有名的大师到来。
在普林斯顿仅仅两个月的时间，陈省身就完成了“高斯一邦尼”公式的证明。他认为这是他一生最得意的文章。
接着，他由此又引入以后被称之为“陈省身示性类”的著名工作，对数学乃至理论物理的发展都产生了极其深远的影响。当代著名几何学家霍普夫，在一篇谈到陈省身的文章中写道：“微分几何进入了一个新时代。”
正当陈省身在普林斯顿取得辉煌研究成果的时候，抗日战争胜利了。他毅然决定回国，离开条件优越的普林斯顿，到清华大学任教，以实现振兴祖国近代数学的夙志。
回国后，陈省身辗转来到上海，奉命组建中央研究院数学所。
在他看来，要办好研究所，最重要的是培养新人。他给国内各著名大学数学系写信，请他们推荐三年内毕业的最优秀的学生。这样陈省身招来了十几名活跃的年轻助理研究员，这些人后来都成了中国数学界的中坚力量。
荣获国际数学界的最高奖 沃尔夫奖
1949年元旦，陈省身一家迁居美国旧金山。为赡养四口之家，他应芝加哥大学聘请前去任教。西南联大的两名高材生杨振宁、李政道当时正在那里攻读博士学位。
在芝加哥大学，陈省身培养出10位美国历史上第一批高水准的几何博士。
1981年，陈省身在加州大学柏克莱分校筹建以纯粹数学为主的美国国家数学研究所，是第一任所长，直到1984年退休。
陈省身接受福特总统颁发的科学奖章 资料图
由于陈省身在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，他曾获美国数学学会的肖夫内奖，后又荣获国际数学界的最高奖 沃尔夫奖诺贝尔奖没有设数学奖项。
在纪念美国数学会成立100周年时，著名数学家奥塞曼指出：“使几何学在美国复兴的极有决定性的因素，我想应该是40年代后期陈省身从中国来到美国。”
诺贝尔奖获得者杨振宁是陈省身在西南联大任教时的高足。杨振宁说，有很多学者不大擅长给学生上课，自己的想法有的时候讲不出来，但陈先生讲课非常有条理。“陈先生上课非常奇妙，简直像变戏法一样。一句话就能把我苦思冥想的问题解决，这足见陈先生的大智慧。”
1975年，杨振宁写了一首诗，在国际数学界广为传颂：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古存心事，欧高黎嘉陈。”杨振宁把陈省身誉为继世界数学大师欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一位划时代的巨匠。
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